如圖①,兩個菱形ABCD和EFGH是以座標原點O為位似中心的位似圖形,對角線均在座標軸上,已知菱形EFGH與菱...
問題詳情:
如圖①,兩個菱形ABCD和EFGH是以座標原點O為位似中心的位似圖形,對角線均在座標軸上,已知菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,∠BAD=120°,其中AD=4.
(1)點D座標為 ,點E座標為 ;
(2)固定圖①中的菱形ABCD,將菱形EFCH繞O點順時針方向旋轉α度角(0°<α<90°),並延長OE交AD於P,延長OH交CD於Q,如圖②所示,
①當α=30°時,求點P的座標;
②試探究:在旋轉的過程中是否存在某一角度α,使得四邊形AFEP是平行四邊形?若存在,請推斷出α的值;若不存在,說明理由;
【回答】
(1)點D座標為(2,0),點E座標為(0,1).
(2)①點P的座標是(,);
②當α=60°時,四邊形AFEP是平行四邊形.理由見解析
【解析】
試題分析:(1)由於∠BAD=120°,易知∠OAD=60°,通過解直角△AOD來求OD、OA的長度;然後利用相似比來求OE的長度;
(2)由(1)和相似多邊形的*質知,OA=2,OD=2 ,EF=2.
①作PM⊥OA於點M,易求AM、PM的長度;
②如果四邊形AFEP是平行四邊形,那麼首要滿足的條件是AP∥FE,由於∠FEO=60°,因此∠APO必為60°,此時△AOP中,∠APO=∠OAP=60°,因此△AOP是等邊三角形,已知兩菱形的位似比為2:1,因此EF= AD,也就是EF=AP,由此可得出當α=60°時,AP //EF,且AP=EF,即四邊形APEF是平行四邊形.
試題解析:(1)如圖①,∵∠BAD=120°,四邊形ABCD是菱形,
∴∠OAD=∠BAD=60°.
又∵在直角△AOD中,AD=4,
∴OA=AD•cos60°=4×=2,
OD=AD•sin60°=4×=2.
又菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,
∴OE:OA=1:2,
∴OE=1,
∴點D座標為(2,0),點E座標為(0,1).
故*是:(2,0),(0,1);
(2)由(1)知,OA=2,OD=2,∠OAD=60°.
∵菱形EFGH與菱形ABCD的相似比為1:2,AD=4,
∴EF=AB=AD=2.
①當α=30°時,∠APO=90°,則AP=OA=1.
如圖②,作PM⊥OA於點M.則AM=AP=,PM=,
∵OM=OA-AM=,
∴點P的座標是(,);
②當α=60°時,四邊形AFEP是平行四邊形.理由如下:
∵在旋轉過程中,EF=2,∠FEO=60°,∠OAP=60°,當*線OE旋轉角度α=60°時,得△AOP是等邊三角形,此時∠APO=60°,AP=2,
∴AP=EF,
∴∠APO=∠FEO,得AP∥EF,
∴四邊形AFEP是平行四邊形,
∴當α=60°時,四邊形AFEP是平行四邊形.
考點:1、菱形的*質;2、解直角三角形;3、圖形的旋轉變換;4、相似多邊形的*質
知識點:多邊形及其內角相和
題型:解答題
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