如圖，在平面直角座標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分c1...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經過點A、C、B的拋物線的一部分c1與經過點A、D、B的拋物線的一部分c2組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線成為“蛋線”．已知點C的座標為（0，），點M是拋物線C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的頂點．

（1）求A、B兩點的座標；

（2）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當△BDM為直角三角形時，求m的值．

【回答】

解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m，

=m（x﹣3）（x+1），

∵m≠0，

∴當y=0時，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）設C1：y=ax2+bx+c，將A，B，C三點座標代入得：

，

解得：，

故C1：y=x2﹣x﹣；

如圖，過點P作PQ∥y軸，交BC於Q，

由B、C的座標可得直線BC的解析式為y=x﹣，

設p（x， x2﹣x﹣），則Q（x， x﹣），PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，

S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•OB=×3×（﹣x2+x）=﹣+x=﹣（x﹣）2+，

當x=時，Smax=，

∴P（）

（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，

頂點M座標（1，﹣4m），

當x=0時，y=﹣3m，

∴D（0，﹣3m），B（3，0），

∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，

MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，

BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，

當△BDM為直角三角形時，分兩種情況：

①當∠BDM=90°時，有DM2+BD2=MB2，

解得m1=﹣1，m2=1（∵m＜0，∴m=1捨去）；

②當∠BMD=90°時，有DM2+MB2=BD2，

解得m1=﹣，m2=（捨去），

綜上，m=﹣1或﹣時，△BDM為直角三角形．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題