觀察以下一系列等式：①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；②2×3×4×5+1=112=（22+...

問題詳情：

觀察以下一系列等式：

①1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）2；

②2×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）2；

③3×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）2；

④4×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2；…

（1）請用字母表示上面所發現的規律：_____________________________ _；

（2）利用你學過的方法，*你所發現的規律．

【回答】

見解析

【解析】分析：觀察可知，每個等式的兩邊有規律，中間規律不好找．最左邊是連續4個自然數的積與1的和；最右邊是括號外面都有平方，不變數3和1，還有縱看是自然數的平方．問題可求．

詳解：（1）令左邊第一個數字為n，則依次為：n，（n+1），（n+2），（n+3）；

    右邊為：（n2+3n+1）2；∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2．

    （2）*：令左邊第一個數字為n，則依次為：n，（n+1），（n+2），（n+3）；

    ∴n（n+1）（n+2）（n+3）+1

= [n（n+3）][（n+1）（n+2）]+1

=（n2+3n）（n2+3n+2）+1

=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1

=（n2+3n+1）2．

    故有n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2成立．

點睛：本題找規律時，要善於發現其中的變與不變的數，橫看縱看，結合與自然數的關係去尋找*．

知識點：乘法公式

題型：解答題