在直角座標系中,過原點O及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連結OB,點D為OB的中點,點E是線段A...
問題詳情:
在直角座標系中,過原點O及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連結OB,點D為OB的中點,點E是線段AB上的動點,連結DE,作DF⊥DE,交OA於點F,連結EF.已知點E從A點出發,以每秒1個單位長度的速度線上段AB上移動,設移動時間為t秒.
(1)如圖1,當t=3時,求DF的長.
(2)如圖2,當點E線上段AB上移動的過程中,∠DEF的大小是否發生變化?如果變化,請說明理由;如果不變,請求出tan∠DEF的值.
(3)連結AD,當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時,求相應的t的值.
【回答】
(1)3;(2)∠DEF的大小不變,tan∠DEF=;(3)或.
【解析】
(1)當t=3時,點E為AB的中點,
∵A(8,0),C(0,6),
∴OA=8,OC=6,
∵點D為OB的中點,
∴DE∥OA,DE=OA=4,
∵四邊形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴DE⊥AB,
∴∠OAB=∠DEA=90°,
又∵DF⊥DE,
∴∠EDF=90°,
∴四邊形DFAE是矩形,
∴DF=AE=3;
(2)∠DEF的大小不變;理由如下:
作DM⊥OA於M,DN⊥AB於N,如圖2所示:
∵四邊形OABC是矩形,
∴OA⊥AB,
∴四邊形DMAN是矩形,
∴∠MDN=90°,DM∥AB,DN∥OA,
∴, ,
∵點D為OB的中點,
∴M、N分別是OA、AB的中點,
∴DM=AB=3,DN=OA=4,
∵∠EDF=90°,
∴∠FDM=∠EDN,
又∵∠DMF=∠DNE=90°,
∴△DMF∽△DNE,
∴,
∵∠EDF=90°,
∴tan∠DEF=;
(3)作DM⊥OA於M,DN⊥AB於N,
若AD將△DEF的面積分成1:2的兩部分,
設AD交EF於點G,則點G為EF的三等分點;
①當點E到達中點之前時,如圖3所示,NE=3﹣t,
由△DMF∽△DNE得:MF=(3﹣t),
∴AF=4+MF=﹣t+,
∵點G為EF的三等分點,
∴G(,),
設直線AD的解析式為y=kx+b,
把A(8,0),D(4,3)代入得: ,
解得: ,
∴直線AD的解析式為y=﹣x+6,
把G(,)代入得:t=;
②當點E越過中點之後,如圖4所示,NE=t﹣3,
由△DMF∽△DNE得:MF=(t﹣3),
∴AF=4﹣MF=﹣t+,
∵點G為EF的三等分點,
∴G(,),
代入直線AD的解析式y=﹣x+6得:t=;
綜上所述,當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1:2時,t的值為或.
考點:四邊形綜合題.
知識點:一次函式
題型:解答題
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