求*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．

問題詳情：

求*：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n·(2n＋1)(n∈N*)．

【回答】

①當n＝1時，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－3，等式成立．

②假設n＝k時，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．

當n＝k＋1時，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1時，等式也成立．

由①②得，等式對任何n∈N*都成立．

知識點：推理與*

題型：解答題