一個幾何體是由圓柱和三稜錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正檢視、側檢視的面積分別為10和12...
問題詳情:
一個幾何體是由圓柱和三稜錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正檢視、側檢視的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.
(1)求*:AC⊥BD;
(2)求二面角ABDC的大小.
【回答】
解:法一 (1)因為EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
所以EA⊥AC,
即ED⊥AC.
又因為AC⊥AB,AB∩ED=A,
所以AC⊥平面EBD.
因為BD⊂平面EBD,
所以AC⊥BD.
(2)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,
所以BC為圓O的直徑.
設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正檢視、側檢視的面積可得
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
過點C作CH⊥BD於點H,連線AH,
由(1)知,AC⊥BD,AC∩CH=C,
所以BD⊥平面ACH.
因為AH⊂平面ACH,
所以BD⊥AH.
所以∠AHC為二面角ABDC的平面角.
由(1)知,AC⊥平面ABD,AH⊂平面ABD,
所以AC⊥AH,
即△CAH為直角三角形.
在Rt△BAD中,AB=2,AD=2,
則BD==2.
由AB·AD=BD·AH,
解得AH=.
因為tan ∠AHC==.
所以∠AHC=60°.
所以二面角ABDC的平面角大小為60°.
法二 (1)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且AB⊥AC,所以BC為圓O的直徑.
設圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據正檢視、側檢視的面積可得
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以點D為原點,DD1,DE所在的直線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角座標系Dxyz,則D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),
C(2,-2,2),=(2,-2,0),
=(2,2,2).
因為·=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,
所以⊥.
所以AC⊥BD.
(2)設n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,
=(0,-4,0),
即
取z=-1,則n=(1,0,-1)是平面BCD的一個法向量.
由(1)知,AC⊥BD,
又AC⊥AB,AB∩BD=B,
所以AC⊥平面ABD.
所以=(2,-2,0)是平面ABD的一個法向量.
因為cos<n,>===,
所以<n,>=60°.
而<n,>等於二面角ABDC的平面角,
所以二面角ABDC的平面角大小為60°.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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