農用平板車的簡化模型如圖a所示，兩車輪的半徑均為r(忽略內外半徑差)，質量均為m(車輪輻條的質量可忽略)，兩輪...

問題詳情：

農用平板車的簡化模型如圖a所示，兩車輪的半徑均為r(忽略內外半徑差)，質量均為m(車輪輻條的質量可忽略)，兩輪可2m繞過其中心的光滑細車軸轉動(軸m的質量可忽略)；車平板長為l、質把手量為2m，平板的質心恰好位於車輪的軸上；兩車把手(可視為細直杆)的長均為2l、質量均為m，且把手前端與平板對齊，平板、把手和車軸固連成一個整體，車輪、平板和把手各自的質量分佈都是均勻的.重力加速度大小為g.

(1)該平板車的車輪被一裝置(圖中未畫出)卡住而不能前後移動，但仍可繞車軸轉動.將把手提至水平位置由靜止開始釋放，求把手在與水平地面碰撞前的瞬間的轉動角速度.

(2)在把手與水平地面碰撞前的瞬間立即撤去卡住兩車輪的裝置，同時將車輪和軸鎖死，在碰後的瞬間立即解鎖，假設碰撞時間較短(但不為零)，碰後把手末端在豎直方向不反*.已知把手與地面、車輪與地面之間的滑動摩擦係數均為μ(最大靜摩擦力等於滑動摩擦力).求在車輪從開始運動直至靜止的過程中，車軸移動的距離.

【回答】

（1）  （2）

【詳解】

(1)車輪被一裝置卡住而不能前後移動，但仍可繞輪軸轉動.把手繞車軸的轉動慣量為

平板繞車軸的轉動慣量為

平板與把手整體繞車軸的轉動慣量為

     (1)

把手和平板整體的質心位置到車軸的距離(見解題圖a)為

             (2)

設把手與地面碰撞前的瞬間的角速度為，由機械能守恆有

            (3)

式中h是把手和平板整體的質心下降的距離(見解題圖b)

將(2)式代入上式得

由上式和(1)(3)式得

                 (4)

(2)在把手與地面碰撞前的瞬間，把手和平板車的質心的速度大小為

由幾何關係有

，

碰前瞬間把手和平板質心速度的水平與豎直分量(從把手末端朝向把手前端為正)分別為

        (5)

       (6)

記碰撞時間間隔為△t，由題設，把手、平板與車輪組成的系統在碰撞過程中可視為一個物體.剛碰時，由於把手末端與地面之間有相對速度，把手末端與地面之間在碰撞過程中水平方向的相互作用力是滑動摩擦力.設碰撞過程中地面對系統在豎直方向上總的支援力為N′，在碰撞後的瞬間系統的水平速度為(≥0).在水平和豎直方向上分別對此係統應用動量定理有

              (7)

              (8)

值得注意的是，(8)式左端的衝量不可能等於零，因而(7)式左端的衝量也不可能等於零.由(7)(8)式得

即

當系統靜止，故

            (9)

當

系統開始運動，下面分兩階段討論系統開始運動後直至停止的過程:

階段I.車輪又滑又滾階段

兩車輪的受力如解題圖c所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和是把手和平板通過軸對兩車輪分別在水平方向和豎直方向的作用力，地面對車輪的滑動摩擦力.把手和平板作為一個整體的受力解題圖d所示，圖中N是地面對把手末端的正壓力.

地面與車之間的總滑動摩擦力為

       (10)

把手、平板和車輪組成的系統的質心加速度為

           (11)

對把手和平板系統應用質心運動定理有

             (12)

              (13)

對把手和平板系統應用相對於過質心的水平軸的轉動定理有

由(11)(12)(13)式得

將以上兩式代入(14)式得

      (14)

於是

因而

對兩車輪在豎直方向上應用質心運動定理有

             (15)

對兩車輪應運用轉動定理有

                  (16)

由(15)式得

再由(16)式得

設車輪經歷時間間隔t後開始純滾動，由純滾動條件有

              (17)

此即

由此得

車輪開始做純滾動時的速度為

 (18)

在整個又滑又滾階段，車軸移動的距離為

於是有

階段Ⅱ.車輪純滾動階段

兩車輪的受力如解題圖e所示，圖中是地面對兩車輪的正壓力，和分別是把手和平板通過軸對兩車輪在水平方向和豎直方向的作用力，是地面對車輪的作用力(靜摩擦力)。把手和平板作為一一個整體的受力解題圖f所示，圖中是地面對把手末端的正壓力.

對兩車輪運用質心運動定理有

                  (20)

對兩車輪運用轉動定理有

                   (21)

由純滾動條件有

                  (22)

由(20)(21)(22)式得

對把手和平板系統在水平方向上應用質心運動定理有

聯立以上兩式有

對把手和平板系統在豎直方向上應用質心運動定理有

對把手和平板系統應用相對於過質心C的水平軸的轉動定理有

聯立以上三式消去和，得

解得

於是

                    (23)

在整個純滾動階段，車軸移動的距離滿足

於是

在車輪從開始運動直至靜止的整個過程中，車軸移動的距離為

知識點：動量

題型：解答題