如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC...

問題詳情：

如圖，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延長CA至點E，使AE=AC；延長CB至點F，使BF=BC．連線AD，AF，DF，EF．延長DB交EF於點N．

（1）求*：AD=AF；

（2）求*：BD=EF；

（3）試判斷四邊形ABNE的形狀，並說明理由．

【回答】

【考點】KD：全等三角形的判定與*質；LF：正方形的判定．

【分析】（1）由等腰直角三角形的*質得出∠ABC=∠ACB=45°，求出∠ABF=135°，∠ABF=∠ACD，*出BF=CD，由SAS*△ABF≌△ACD，即可得出AD=AF；

（2）由（1）知AF=AD，△ABF≌△ACD，得出∠FAB=∠DAC，*出∠EAF=∠BAD，由SAS*△AEF≌△ABD，得出對應邊相等即可；

（3）由全等三角形的*質得出得出∠AEF=∠ABD=90°，*出四邊形ABNE是矩形，由AE=AB，即可得出四邊形ABNE是正方形．

【解答】（1）*：∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABF=135°，

∵∠BCD=90°，

∴∠ABF=∠ACD，

∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，

在△ABF和△ACD中，

，

∴△ABF≌△ACD（SAS），

∴AD=AF；

（2）*：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，

∴∠FAB=∠DAC，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB=∠BAC=90°，

∴∠EAF=∠BAD，

在△AEF和△ABD中，

，

∴△AEF≌△ABD（SAS），

∴BD=EF；

（3）解：四邊形ABNE是正方形；理由如下：

∵CD=CB，∠BCD=90°，

∴∠CBD=45°，

由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，

∴∠AEF=∠ABD=90°，

∴四邊形ABNE是矩形，

又∵AE=AB，

∴四邊形ABNE是正方形．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與*質、等腰直角三角形的*質、正方形的判定、矩形的判定；熟練掌握等腰直角三角形的*質，*三角形全等是解決問題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：綜合題