閱讀與思考婆羅摩笈多（Brahmagupta），是一位印度數學家和天文學家，書寫了兩部關於數學和天文學的書籍，...

問題詳情：

閱讀與思考

婆羅摩笈多（Brahmagupta），是一位印度數學家和天文學家，書寫了兩部關於數學和天文學的書籍，他的一些數學成就在世界數學史上有較高的地位，他的負數概念及加減法運算僅晚於*《九章算術》，而他的負數乘除法法則在全世界都是領先的，他還提出了著名的婆羅摩笈多定理，該定理的內容及部分*過程如下：

已知：如圖1，四邊形ABCD內接於⊙O，對角線AC⊥BD於點P，PM⊥AB於點M，延長MP交CD於點N，求*：CN=DN．

*：在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴…

（1）請你閱讀婆羅摩笈多定理的*過程，完成剩餘的*部分．

（2）已知：如圖2，△ABC內接於⊙O，∠B=30°，∠ACB=45°，AB=2，點D在⊙O上，∠BCD=60°，連線AD，與BC交於點P，作PM⊥AB於點M，延長MP交CD於點N，則PN的長為　　．

【回答】

【考點】三角形的外接圓與外心；含30度角的直角三角形；圓內接四邊形的*質．

【分析】（1）由直角三角形的*質∠BAP=∠BPM．由圓周角定理得出∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．*出∠DPN=∠PDN，得出DN=PN，同理CN=PN，即可得出結論；

（2）由圓周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形內角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由AAS*△CPD≌△APB，得出CD=AB=2，同（1）得出CN=DN，由三角形內角和定理得出PN=CD=1即可．

【解答】解：（1）在△ABP和△BMP中，∵AC⊥BD，PM⊥AB，

∴∠BAP+∠ABP=90°，∠BPM+∠MBP=90°．

∴∠BAP=∠BPM．

∵∠DPN=∠BPM，∠BAP=∠BDC．

∴∠DPN=∠PDN，

∴DN=PN，

同理：CN=PN，

∴CN=DN；

（2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°，

∴∠ACD=45°+60°=105°，

又∵∠D=∠B=30°，

∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°，

∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形，

∴PA=PC，∠CPD=90°，

在△CPD和△APB中，，

∴△CPD≌△APB（AAS），

∴CD=AB=2，

∵∠CPD=90°，PM⊥AB於點M，延長MP交CD於點N，

∴同（1）得：CN=DN，

∴PN=CD=1；

故*為：1．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題