如圖,在直三棱柱中,,是的中點,.(1)求*:平面;(2)若異面直線和所成角的餘弦值爲,求四棱錐的體積.
問題詳情:
如圖,在直三棱柱中,,是的中點,.
(1)求*:平面;
(2)若異面直線和所成角的餘弦值爲,求四棱錐的體積.
【回答】
(1)見*;(2)3
【解析】
(1)連接,交於點,連結,利用中位線定理*平面.
(2)通過平移,表示出異面直線和所成角,結合正弦定理及三角形面積公式求得.所以可得解.
【詳解】
解法一:
(1)連結,交於點,連結.
在直三棱柱中,四邊形爲平行四邊形,
所以爲的中點,
又爲的中點,所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2)因爲,爲銳角,
所以爲異面直線和所成的角,
所以由條件知,
在中,,,
,,
.
又平面,平面,,
所以,
,
,
所以.
解法二:(1)*:取的中點,連結,,,
在直三棱柱中,
四邊形爲平行四邊形,又是的中點,
所以,所以四邊形是平行四邊形,
所以,又平面,平面,
所以平面,
因爲,所以四邊形是平行四邊形,
所以,又平面,平面,
所以平面,
又,平面,
所以平面平面,
又平面,所以平面.
(2)過作於,
因爲平面,平面,所以,
又,平面,所以平面.
因爲,爲銳角,
所以爲異面直線和所成的角,
所以由條件知,
在中,,,
,,
,
又,,,
所以.
【點睛】
本題考查了直線與平面平行的判定,割補法求體積,屬於中檔題.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題
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