如圖所示,在五棱錐中,側面底面,是邊長爲2的正三角形,四邊形爲正方形,,且,是的重心,是正方形的中心.(Ⅰ)求...
問題詳情:
如圖所示,在五棱錐中,側面底面,是邊長爲2的正三角形,四邊形爲正方形,,且,是的重心,是正方形的中心.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)求二面角的餘弦值.
【回答】
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)
【分析】
(1)*線面平行,轉化爲線線平行.取中點,中點,連接,即可.(2)求二面角的餘弦值,以爲原點,以方向爲軸正方向,以方向爲軸正方向,以方向爲軸正方向,建立空間直角座標系即可.
【詳解】
(Ⅰ)取中點,中點,連接,,易知,,,四點共線.
由,且,可知爲等腰直角三角形,所以.
因爲是正方形的中心,所以.
所以,所以.又是的重心,所以.
所以,故.又因爲平面,平面.
所以平面.
(Ⅱ)解法一:因爲爲中點,是正三角形,所以.
因爲側面底面,且交線爲,所以底面.所以直線,,兩兩垂直.
如圖,以爲原點,以方向爲軸正方向,以方向爲軸正方向,以方向爲軸正方向,建立空間直角座標系.
則,,,.所以,,.
設平面的法向量爲,
則令,則.
設平面的法向量爲,
則,令,則.
所以.
結合圖可知,二面角的餘弦值爲.
解法二:取,中點分別爲,,連接,,則.
又側面底面,,側面底面,所以平面.
又平面,所以,所以.
又,,所以,所以.
所以爲二面角的平面角.
易知,所以.因爲,,
所以,所以.
即二面角的餘弦值爲.
【點睛】
本題主要考查了直線與平面平行、二面角,屬於中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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