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(2017新课标全国Ⅲ理科)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)*:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D–AE–C的余弦值.
【回答】
(1)见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)利用题意*得二面角的平面角为90°,则可得到面面垂直;
(2)利用题意求得两个半平面的法向量,然后利用二面角的夹角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值为.
试题解析:(1)由题设可得,,从而.
又是直角三角形,所以.
取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.
又由于是正三角形,故.
所以为二面角的平面角.
在中,.
又,所以,
故.
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)由题设及(1)知,两两垂直,以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.则.
由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得.
故.
设是平面DAE的法向量,则即
可取.
设是平面AEC的法向量,则同理可取.
则.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
【名师点睛】(1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想进行向量运算时,要认真细心,准确计算.
(2)设m,n分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与互补或相等,故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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