(為方便答題,可在答題卡上畫出你認為必要的圖形)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊...
問題詳情:
(為方便答題,可在答題卡上畫出你認為必要的圖形)
在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點.若等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉,得到等腰RtRt△AD1E1,設旋轉角為α(0<α≤180°),記直線BD1與CE1的交點為P.
(1)如圖1,當α=90°時,線段BD1的長等於 ,線段CE1的長等於 ;(直接填寫結果)
(2)如圖2,當α=135°時,求*:BD1=CE1 ,且BD1⊥CE1 ;
(3)求點P到AB所在直線的距離的最大值.(直接寫出結果)
【回答】
(1)BD1=,CE1=;(2)見解析;(3)1 +
【解析】
【分析】
(1)結合圖1,根據勾股定理可求得BD1、CE1;
(2)根據旋轉變換的*質可*三角形全等,然後由直角三角形的*質可求得結論;
(3)由旋轉變換的*質可知,四邊形APD1E1為正方形時,距離最大.
【詳解】
解:(1)解:∵∠A=90°,AC=AB=4,D,E分別是邊AB,AC的中點, ∴AE=AD=2, ∵等腰Rt△ADE繞點A逆時針旋轉,得到等腰Rt△AD1E1,設旋轉角為α(0<α≤180°), ∴當α=90°時,AE1=2,∠E1AE=90°,
;
(2)*:當α=135°時,如下圖:
由旋轉可知∠D1AB=E1AC=135°
又AB=AC,AD1=AE1,
∴△D1AB ≌ △E1AC
∴BD1=CE1且 ∠D1BA=E1CA
設直線BD1與AC交於點F,有∠BFA=∠CFP
∴∠CPF=∠FAB=90°,
∴BD1⊥CE1;
(3)解:如圖3,作PG⊥AB,交AB所在直線於點G,
∵D1,E1在以A為圓心,AD為半徑的圓上, 當BD1所在直線與⊙A相切時,直線BD1與CE1的交點P到直線AB的距離最大, 此時四邊形AD1PE1是正方形,PD1=2,則, 故∠ABP=30°, 則, 故點P到AB所在直線的距離的最大值為:.
考點:旋轉變換,直角三角形,勾股定理,三角形全等,正方形的*質
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題
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