已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:(I)*...
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已知三棱锥(如图一)的平面展开图(如图二)中,四边形为边长等于的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中:
(I)*:平面平面;
(Ⅱ)若点在棱上运动,当直线与平面所成的角最大时,求二面角的余弦值.
图一
图二
【回答】
(1)见解析(2)
【分析】
(1)设AC的中点为O,*PO垂直AC,OB,结合平面与平面垂直判定,即可.(2)建立直角坐标系,分别计算两相交平面的法向量,结合向量的数量积公式,计算夹角,即可.
【详解】
(Ⅰ)设的中点为,连接,.
由题意,得,
,.
因为在中,,为的中点,
所以,
因为在中,,,,
,所以.
因为,平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,平面,
所以是直线与平面所成的角,
且,
所以当最短时,即是的中点时,最大.
由平面,,所以,,于是以
,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图示空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,.
设平面的法向量为,则
由得:.
令,得,,即.
设平面的法向量为,
由得:,
令,得,,即.
.
由图可知,二面角的余弦值为.
【点睛】
本道题考查了二面角计算以及平面与平面垂直的判定,难度较大.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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