如图,在四棱椎中,是棱上一点,且,底面是边长为2的正方形,为正三角形,且平面平面,平面与棱交于点.(1)求*...
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如图,在四棱椎中,是棱上一点,且,底面是边长为2的正方形,为正三角形,且平面平面,平面与棱交于点.
(1)求*:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)在正方形中,,由面面垂直的*质定理可得,∴平面,又平面,∴,进而*得,又平面,,
∴平面,∵平面,∴平面平面.
(2)取中点,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,进而得到平面的一个法向量,平面的一个法向量.由空间的夹角公式可求两个向量的的夹角,又由题意可得二面角为钝角,即可得到二面角的余弦值.
试题解析:
(1)在正方形中,,又平面平面,且平面平面,
∴平面,又平面,∴,∵底面是正方形,∴,
又平面,平面,∴平面.
又四点共面,且平面平面,∴,∴,
又,∴为棱的中点,是棱中点,
∵是正三角形,∴,又平面,,
∴平面,∵平面,∴平面平面.
(2)取中点,以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则
,,,,,,,.
设平面的法向量为,则,∴,,,解得,,令,则为平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,,
∴,,得,,令,则为平面的一个法向量.
∴,由图知二面角为钝角,
∴二面角的余弦值为.
知识点:平面向量
题型:解答题
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