設,對1,2,···,n的一個排列,如果當s<t時,有,則稱是排列的一個逆序,排列的所有逆序的總個數稱為...
問題詳情:
設,對1,2,···,n的一個排列,如果當s<t時,有,則稱是排列的一個逆序,排列的所有逆序的總個數稱為其逆序數.例如:對1,2,3的一個排列231,只有兩個逆序(2,1),(3,1),則排列231的逆序數為2.記為1,2,···,n的所有排列中逆序數為k的全部排列的個數.
(1)求的值;
(2)求的表示式(用n表示).
【回答】
(1)2 5
(2)n≥5時,
【解析】
分析:(1)先根據定義利用列舉法確定含三個元素的*中逆序數為2的個數,再利用列舉法確定含四個元素的*中逆序數為2的個數;(2)先尋求含n個元素的*中逆序數為2與含n+1個元素的*中逆序數為2的個數之間的關係,再根據疊加法求得結果.
詳解:解:(1)記為排列abc的逆序數,對1,2,3的所有排列,有
,
所以.
對1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,將數字4新增進去,4在新排列中的位置只能是最後三個位置.
因此,.
(2)對一般的n(n≥4)的情形,逆序數為0的排列只有一個:12…n,所以.
逆序數為1的排列只能是將排列12…n中的任意相鄰兩個數字調換位置得到的排列,所以.
為計算,當1,2,…,n的排列及其逆序數確定後,將n+1新增進原排列,n+1在新排列中的位置只能是最後三個位置.
因此,.
當n≥5時,
,
因此,n≥5時,.
點睛:探求數列通項公式的方法有觀察(觀察規律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.尋求相鄰項之間的遞推關係,是求數列通項公式的一個有效的方法.
知識點:數列
題型:解答題
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