如圖1,點O為直線AB上一點,過點O作*線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點放在點O處,一邊...
問題詳情:
如圖1,點O為直線AB上一點,過點O作*線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點放在點O處,一邊OM在*線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2,使一邊OM在∠BOC的內部,且恰好平分∠BOC.問:此時直線ON是否平分∠AOC?請說明理由.
(2)將圖1中的三角板繞點O以每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一週,在旋轉的過程中,第t秒時,直線ON恰好平分銳角∠AOC,則 t的值為 秒(直接寫出結果).
(3)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3,使ON在∠AOC的內部,試探索:在旋轉過程中,∠AOM與∠NOC的差是否發生變化?若不變,請求出這個差值;若變化,請求出差的變化範圍.
【回答】
(1)直線ON平分∠AOC;(2)12或30秒;(3)差為定值30°.
【解析】
試題分析:(1)直線ON平分∠AOC,設ON的反向延長線為OD,已知OM平分∠BOC,根據角平分線的定義可得∠MOC=∠MOB,又由OM⊥ON,根據垂直的定義可得∠MOD=∠MON=90°,所以∠COD=∠BON,再根據對頂角相等可得∠AOD=∠BON,即可∴∠COD=∠AOD,結論得*;(1)已知∠BOC=120°,根據平角的定義可得∠AOC=60°,旋轉至直線ON恰好平分銳角∠AOC,可得旋轉120°或300°時ON平分∠AOC,由此可得10t=120°或300°,所以n=12或30;(3)差為定值30°,因為∠MON=90°,∠AOC=60°,所以∠AOM=90°-∠AON,∠NOC=60°-∠AON,再根據角的的和差計算即可.
試題解析:
(1)直線ON平分∠AOC.理由:
設ON的反向延長線為OD,
∵OM平分∠BOC,
∴∠MOC=∠MOB,
又∵OM⊥ON,
∴∠MOD=∠MON=90°,
∴∠COD=∠BON,
又∵∠AOD=∠BON(對頂角相等),
∴∠COD=∠AOD,
∴OD平分∠AOC,即直線ON平分∠AOC.
(2)12或30秒
(3)差為定值30°
∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°-∠AON、∠NOC=60°-∠AON,
∴∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)=30°.
點睛:本題考查了角平分線的定義及角的和差計算,解題的關鍵是認真審題並仔細觀察圖形,找到各個量之間的關係.
知識點:角
題型:解答題
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