如圖,將兩塊直角三角板擺放在平面直角座標系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°...

問題詳情：

如圖,將兩塊直角三角板擺放在平面直角座標系中,有∠COD=∠ABO=90°,∠OCD=45°,∠AOB=60°,且AO=CD=8.現將Rt△AOB繞點O逆時針旋轉,旋轉角為β(0°≤β≤180°).在旋轉過程中,直線CD分別與直線AB,OA交於點F,G. (Ⅰ)當旋轉角β=45°時,求點B的座標; (Ⅱ)在旋轉過程中,當GF=AF,求β的值;

(Ⅲ)在旋轉過程中,當∠BOD=60°時,求直線AB的解析式.

【回答】

解:(Ⅰ)如解圖①,過點B 作BH⊥x軸於點H, 在Rt△AOB中,∠AOB=60°,OA=8, ∴OB=OA=4, 當β=45°時,即∠BOC=45°, ∴OH=BH, ∴OH2＋BH2=42 ∴OH=BH=2, ∴B(2,2); (Ⅱ)當75°＜β＜180°時,存在FA=FG(如解圖④), ∴∠A=∠FGA=30°, ∴∠COG=45°－30°=15°=∠AOM, ∴β=∠BOC=180°－15°－60°=105°, ∴當FG=AF時，β=105°; (Ⅲ)①當點B在第一象限時(如解圖②),過點B作BM⊥OC於點M,∵∠BOD=60°, ∴∠BOC=30°, ∴OM=OB•cos∠BOC＝4×＝2,BM=OB•sin∠BOC＝4×＝2, ∴B(2,2), ∵點A在y軸上 ∴A(0,8), 設直線AB的解析式為y=kx＋b, ∴, 解得:, ∴直線AB的解析式為:y=－x＋8; ②當點B在第二象限時,(如解圖③), 過點B作 BE⊥x軸於點E,過點A作AH⊥BE於H, ∵∠BOD=60°, ∴∠BOE=30°, ∴∠EBO=60°, ∴∠ABH=30°, 又∵OB=4, ∴OE=OB•cos∠BOE＝4×＝2,BE=OB•cos∠BOE＝4×＝2, ∴B(－2,2), ∵∠BEO=∠AHB=90°,∠ABH=∠BOE, ∴△OBE∽△BAH, ∴, ∴AH=2,BH=6 ∴A(－4,－4) 設直線AB的解析式為y=kx＋b, ∴, 解得,