已知一個動圓與已知圓Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，與圓Q2：(x－2)2＋y2＝內切，(1)試求這個動圓圓心...

問題詳情：

已知一個動圓與已知圓Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，與圓Q2：(x－2)2＋y2＝內切，(1) 試求這個動圓圓心的軌跡方程；(2)設直線與（1）中動圓圓心軌跡交於A、B兩點，座標原點O到直線的距離為，求△AOB面積的最大值。

【回答】

解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意有

所以c＝，b＝1.所以所求橢圓方程為＋y2＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)．

①當AB⊥x軸時，|AB|＝.

②當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝kx＋m.

由已知＝，得m2＝(k2＋1)．

把y＝kx＋m代入橢圓方程，

整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝

(1＋k2)＝

＝＝

3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4.

若且唯若9k2＝，即k＝±時等號成立．

此時Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，

當k＝0或不存在時，|AB|＝，綜上所述，|AB|max＝2.

所以當|AB|最大時，△AOB面積取得最大值

S＝×|AB|max×＝.

知識點：圓與方程

題型：解答題