某廠家擬對一商品舉行促銷活動,當該商品的售價為x元時,全年的促銷費用為12(15-2x)(x-4)萬元;根據以...

問題詳情：

某廠家擬對一商品舉行促銷活動,當該商品的售價為x元時,全年的促銷費用為12(15-2x)(x-4)萬元;根據以往的銷售經驗,實施促銷後的年銷售量t=12(x-8)2+萬件,其中4<x<7.5,a為常數.當該商品的售價為6元時,年銷售量為49萬件.

(1)求出a的值.

(2)若每件該商品的成本為4元時,寫出廠家銷售該商品的年利潤y萬元與售價x元之間的關係.

(3)當該商品售價為多少元時,使廠家銷售該商品所獲年利潤最大.

【回答】

【解析】(1)由已知:當x=6元時,t=49萬件,

所以49=12(6-8)2+,所以a=2.

(2)因為y=(x-4)·t-[12(15-2x)(x-4)]

所以y=(x-4)·-12(15-2x)(x-4)

=12(x-4)(x-8)2-12(15-2x)(x-4)+2

=12(x-4)(x-7)2+2(4<x<7.5).

(3)y′=12(x-7)2+24(x-4)(x-7)=36(x-7)(x-5),

令y′=0得x=7或x=5.

列表如下

故當x=5時,y最大=50,

故該商品售價為5元時廠家銷售該商品所獲年利潤最大.

【誤區*示】實際問題的求解不要忽視作答.

知識點：導數及其應用

題型：解答題