如圖,某房地產公司要在一塊矩形寬闊地面上開發物業,*影部分是不能開發的古建築群,且要求用在一條直線上的欄柵進行...
問題詳情:
如圖,某房地產公司要在一塊矩形寬闊地面上開發物業,*影部分是不能開發的古建築群,且要求用在一條直線上的欄柵進行隔離,古建築群的邊界為曲線y=1﹣x2的一部分,欄柵與矩形區域邊界交於點M,N.則△MON面積的最小值為 .
【回答】
.
【考點】函式的最值及其幾何意義;函式解析式的求解及常用方法.
【專題】函式思想;數學模型法;函式的*質及應用;導數的綜合應用.
【分析】設MN為曲線y=1﹣x2的切線,切點為(m,n),由拋物線的方程,求出導數,求得切線的斜率,運用點斜式方程可得切線的方程,分別令x=0,y=0可得M,N的座標,求得△MNO的面積,再由導數求得單調區間和極小值,也為最小值,即可得到所求值.
【解答】解:設MN為曲線y=1﹣x2的切線,切點為(m,n),
可得n=1﹣m2,y=1﹣x2的導數為y′=﹣x,
即有直線MN的方程為y﹣(1﹣m2)=﹣m(x﹣m),
令x=0,可得y=1+m2,再令y=0,可得x=(m>0),
即有△MON面積為S=(1+m2)•=,
由S′=(﹣+48m2+24)=0,解得m=,
當m>時,S′>0,函式S遞增;當0<m<時,S′<0,函式S遞減.
即有m=處取得最小值,且為.
故*為:.
【點評】本題考查三角形的面積的最值的求法,注意運用函式的導數,求得切線方程,再由單調*求最值,考查運算能力,屬於中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:填空題
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