如圖，剛*細輕杆（其質量可視為零）可繞通過其中的點的光滑水平軸在豎直面內自由轉動。兩質量分別為和的小球1和2（...

問題詳情：

如圖，剛*細輕杆（其質量可視為零）可繞通過其中的點的光滑水平軸在豎直面內自由轉動。兩質量分別為和的小球1和2（可視為質點）串在輕杆上，它們與輕杆之間的靜摩擦係數為。開始時輕杆靜止在水平位置，小球1和2分別位於緊靠輕杆兩端和的位置。現讓系統自水平位置以零初速下襬，求

1．小球1脫離輕杆時的位置（用小球1脫離杆時杆與水平線的夾角表示）；

2．小球2脫離輕杆時的位置（用小球2脫離杆時杆與水平線的夾角表示）。

【回答】

設輕杆的杆長為，當杆與水平線的夾角為時，球1和球2的速度分別為和，杆轉動的角速度為。因機械能守恆，有

。                （1）

又因

，                                                                      （2）

可由（1）、（2）解得

                                                               （3）

輕杆與兩小球構成的系統對轉軸的角動量

，                                                               （4）

由角動量定律有

。                                        （5）

根據角加速度的定義

，                                                                    （6）

由（2）、（4）、（5）、（6）各式得

。                                                                      （7）

當兩球都未脫離輕杆時，兩球都繞轉軸作圓周運動，球1的切向加速度和法向加速度分別為

                                                                        （8）

                                                                        （9）

以表示沿垂直於輕杆方向球1與杆的相互作用力的大小，以表示沿著輕杆方向球1與杆的相互作用力的大小，根據牛頓第二定律，有

，                                                （10）

                                                    （11）

由（3）、（9）、（10）、（11）各式得

。                                                         （12）

。                                                         （13）

對2球作同樣的分析，沿垂直於輕杆方向球2與杆的相互作用力的大小與沿著輕杆方向球2與杆的相互作用力的大小分別為

，                                                         （14）

。                                                           （15）

由（12）、（14）式可知，杆與小球1、杆與小球2的最大靜摩擦力相等，而（13）、（14）式表明小球1與杆的摩擦力大於小球2與杆的摩擦力，故在轉動過程中，小球1與杆之間的摩擦力先達到最大靜摩擦力，故小球1先滑動。設1球開始滑動時，細杆與水平線夾角為，則，

即，                                       （16）

由（16）式並代入資料得

。                                                                       （17）

當時，球1開始向外滑動。由於球1的初始位置緊靠輕杆末端，球1從開始滑動到脫離細杆的時間可忽略不計，因此球1脫離細杆與水平線夾角也為。

球1一旦脫離輕杆，因輕杆沒有質量，球2與輕杆間的相互作用立即消失，此後球2只受重力作用而作斜*運動，注意到（2）、（3）、（7）各式，丟擲時的初速度

。                                              （18）

初速度的方向與水平線的夾角

。                                                          （19）

在球2作拋體運動的過程中，球與輕杆間雖無相互作用，但球仍套在杆上，輕杆將跟著球運動，但不會干擾小球的運動。當球離轉軸的距離再次等於時，球2便脫離輕杆。建立如圖所示的座標系，根據斜拋運動規律可得任意時刻（取球2開始作拋體運動的時刻為計時起點）球2的位置座標

，                                               （20）

，                                        （21）

球2脫離細杆時有

。                                                                      （22）

利用（17）、（18）、（19）各式得

，                                             （23）

從而解得

。                                                       （24）

此時

。                                                      （25）

設球2脫離細杆時細杆與水平線夾角也為（如圖），則

，                                               （26）

（或弧度）。            （27）

評分標準：（3）式2分，（7）式3分，（12）~（15）式各1分，（16）式2分，（17）式1分，（18）式2分，（19）式1分，（20）~（22）式各1分，（26）、（27）式各1分。

知識點：物理競賽

題型：綜合題