一質量為、長為的勻質細杆，可繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內自由轉動. 杆在水平狀態由靜止開始下襬，（1）令...

問題詳情：

一質量為、長為的勻質細杆，可繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內自由轉動.  杆在水平狀態由靜止開始下襬，

（1）令表示細杆質量線密度.  當杆以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內轉動時，其轉動動能可表示為

式中，為待定的沒有單位的純常數.  已知在同一單位制下，兩物理量若且唯若其數值和單位都相等時才相等. 由此求出、和的值.

（2）已知系統的動能等於系統的質量全部集中在質心時隨質心一起運動的動能和系統在質心繫（隨質心平動的參考系）中的動能之和，求常數的值。

（3）試求當杆擺至與水平方向成角時在杆上距點為處的橫截面兩側部分的相互作用力. 重力加速度大小為。

提示：如果是的函式，而是的函式，則對的導數為

例如，函式對自變數的導數為

【回答】

（1）；（2）；（3），。

【詳解】

（1）當杆以角速度繞過其一端的光滑水平軸在豎直平面內轉動時，其動能是*變數、和的函式，按題意 可表示為

①

式中，為待定常數（單位為1）. 令長度、質量和時間的單位分別為、和（它們可視為相互*的基本單位），則、、和的單位分別為

②

在一般情形下，若表示物理量的單位，則物理量可寫為

③

式中，表示物理量在取單位時的數值，這樣①式可寫為

④

在由②表示的同一單位制下，上式即

⑤

⑥

將②中第四 式代入⑥式得

⑦)

(2)式並未規定基本單位、和的絕對大小，因而(7)式對於任意大小的、和均成立，於是

⑧

所以

⑨

（2）由題意，杆的動能為

⑩

其中

(11)

注意到，杆在質心繫中的運動可視為兩根長度為的杆過其公共端（即質心）的光滑水平軸在鉛直平面內轉動，因而，杆在質心繫中的動能為

(12)

將⑩、 (11)、 (12)式代入⑩式得

(13)

由此解得(14)

於是(15)

（3）以細杆與地球為系統，下襬過程中機械能守恆

(16)

由(15)、(16)式得 (17)

以在杆上距點為處的橫截面外側長為的那一段為研究物件，該段質量為，其質心速度為

(18)

設另一段對該段的切向力為(以增大的方向為正方向)， 法向(即與截面相垂直的方向)力為(以指向點方向為正向)，由質心運動定理得

(19)

(20)

式中，為質心的切向加速度的大小

(21)

而為質心的法向加速度的大小

(22)

由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

(23)

(24)

知識點：機械能守恆定律單元測試

題型：解答題