如圖,兩勁度係數均為k的同樣的輕**繩的上端固定在一水平面上,下端懸掛一質量為m的小物塊.平衡時,輕**繩與水...
問題詳情:
如圖,兩勁度係數均為k的同樣的輕**繩的上端固定在一水平面上,下端懸掛一質量為m的小物塊.平衡時,輕**繩與水平面的夾角為0,**繩長度為l0.現將小物塊向下拉一段微小的距離後從靜止釋放.
(1)*小物塊做簡諧振動;
(2)若k=0.50N/m、m=50g、0=30°、l0=2.0m,重力加速度g=9.8 m/s.,求小物塊做簡諧振動的週期T;
(3)當小物塊下拉的距離為0.010m時,寫出此後該小物塊相對於平衡位置的偏離隨時間變化的方程.已知:當x<<1時,, .
【回答】
(1)F回=-(2ksin2α0+)y;(2)1.8s;(3)y=0.010×cos(3.5×t)
【詳解】
(1)取小物塊的平衡位置為原點O,y軸的方向豎直向下,如圖所示:
由牛頓第二定律可知
ma=mg-2k(l-L)sinα ①
式中a為物塊的加速度,L為**繩的原長;l0為物塊靜止時,**繩的長;l和分別為物塊離開平衡位置的位移為y時**繩的長度和**繩與水平面的夾角.
由幾何關係得
l= ②
sinα= ③
d=l0cosα0 ④
④代入② 展開,化簡得
l=
由於y是小量,y2是二階無窮小量,可略去.得
l=
由小量展開式:當x<<1時,,知
l==l0+ysinα0 ⑤
將⑤代入③,得
sinα=
由 當x<<1時,,知
l0sinα= l0sinα0+y-y sin2α0-(y2/l0)sinα0
且 忽略y2項
l0sinα= l0sinα0+ycos2α0
sinα= sinα0+(y/l0)cos2α0 ⑥
當小物塊處在平衡位置時有
mg=2k(l0-L)sinα0
即
L =l0- ⑦
⑤⑥⑦(代去l,L,sinα)代入① 得
略去y2項
ma=-(2ksin2α0+)y
由簡諧運動的特徵方程知
F回=-Ky
所以
K=(2ksin2α0+)
即
F回=-(2ksin2α0+)y
由此,物體的運動滿足簡諧運動的特徵方程.因此,當y很小時,小物塊做簡諧運動.
(2)小物塊做簡諧運動的週期為
T=2π= ⑧
將題給資料代入⑧,得小物塊做簡諧振動的週期
T=1.8s
(3)因將小物塊拉開距離y0=0.010m 時從靜止鬆手,故小物塊做簡諧振動的振幅為A=0.010m,初始時,小物塊速度為零,小物塊位於最大振幅處,其初相位為
φ0=0 ⑨
圓頻率為
ω0=
故在*單位制中,小物塊做簡諧振動的方程為
y=0.010cos(3.5t)
知識點:牛頓第一定律
題型:解答題
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