設f(x)是定義在區間(1,+∞)上的函式,其導函式為.如果存在實數a和函式h(x),其中h(x)對任意的x∈...
問題詳情:
設f(x)是定義在區間(1,+∞)上的函式,其導函式為.如果存在實數a和函式h(x),其中h(x)對任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得=h(x)(x2-ax+1),則稱函式f(x)具有*質P(a).
(1)設函式,其中b為實數.
①求*:函式f(x)具有*質P(a).②求函式f(x)的單調區間.
(2)已知函式g(x)具有*質P(2),給定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2.設m為實數, ,且.若,求實數m的取值範圍
【回答】
(1)當b≤2時,函式f(x)的單調增區間為(1,+∞);
當b>2時,函式f(x)的單調減區間為(1,),單調增區間為(,+∞).
(2)(0,1)
【解析】
解:(1)由f(x)=ln x+,得f′(x)=.
①*:因為x>1時,h(x)=>0,所以函式f(x)具有*質P(b).
②當b≤2時,由x>1得x2-bx+1≥x2-2x+1=(x-1)2>0,
所以f′(x)>0.從而函式f(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.
當b>2時,令x2-bx+1=0得
x1=,x2=.
因為x1==<<1,
x2=>1,
所以當x∈(1,x2)時,f′(x)<0;當x∈(x2,+∞)時,f′(x)>0;當x=x2時,f′(x)=0.從而函式f(x)在區間(1,x2)上單調遞減,在區間(x2,+∞)上單調遞增.
綜上所述,當b≤2時,函式f(x)的單調增區間為(1,+∞);
當b>2時,函式f(x)的單調減區間為(1,),單調增區間為(,+∞).
(2)由題設知,g(x)的導函式
g′(x)=h(x)(x2-2x+1),
其中函式h(x)>0對於任意的x∈(1,+∞)都成立,
所以當x>1時,g′(x)=h(x)(x-1)2>0,
從而g(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.
①當m∈(0,1)時,
有α=mx1+(1-m)x2>mx1+(1-m)x1=x1,
α<mx2+(1-m)x2=x2,即α∈(x1,x2),
同理可得β∈(x1,x2).
所以由g(x)的單調*知g(α),g(β)∈(g(x1),g(x2)),從而有|g(α)-g(β)|<|g(x1)-g(x2)|,符合題意.
②當m≤0時,α=mx1+(1-m)x2≥mx2+(1-m)x2=x2,β=(1-m)x1+mx2≤(1-m)x1+mx1=x1,於是由α>1,β>1及g(x)的單調*知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α),
所以|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,與題意不符.
③當m≥1時,同理可得α≤x1,β≥x2,
進而得|g(α)-g(β)|≥|g(x1)-g(x2)|,與題意不符.
綜上所述,所求的m的取值範圍為(0,1).
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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