設定義在上的函式,滿足,為奇函式,且,則不等式的解集為( )A. B. C. D.
問題詳情:
設定義在上的函式,滿足,為奇函式,且,則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
【回答】
.D
【解析】分析:建構函式g(x)=exf(x)+ex,(x∈R),求函式的導數,研究g(x)的單調*,將不等式進行轉化求解即可.
詳解:設g(x)=exf(x)-ex,(x∈R),則g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1],∵f(x)+f′(x)>1,∴f(x)+f′(x)+1>0,∴g′(x)>0,∴y=g(x)在定義域上單調遞增,不等式ln(f(x)-1)>ln2-x等價為不等式ln[f(x)-1]+x>ln2, 即為ln[f(x)-1]+lnex>ln2,即ex(f(x)-1)>2,則exf(x)-ex>2,∵y=f(x)-3為奇函式,∴當x=0時,y=0,即f(0)-3=0,得f(0)=3,又∵g(0)=e0f(0)-e0=3-1=2,∴exf(x)-ex>2等價為g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集為(0,+∞), 故選:D.
點睛:本題考查函式的導數與單調*的結合,結合已知條件建構函式,然後用導數判斷函式的單調*是解題的關鍵,綜合*較強,有一定的難度.
知識點:基本初等函式I
題型:選擇題
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