已知函數f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,若f()=﹣.(1)求a的值,並寫出函數f...
問題詳情:
已知函數f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,若f()=﹣.
(1)求a的值,並寫出函數f(x)的最小正週期(不需*);
(2)是否存在正整數k,使得函數f(x)在區間[0,kπ]內恰有2017個零點?若存在,求出k的值,若不存在,請說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)函數f(x)=a(|sinx|+|cosx|)﹣sin2x﹣1,
∵f()=﹣.
∴a(sin+cos)﹣sin﹣1=﹣.
解得:a=1,
函數f(x)的最小正週期T=π,
(2)存在n=504,滿足題意:
理由如下:
當時,,
設t=sinx+cosx,則 ,sin2x=t2﹣1,
則,可得 t=1或,
由t=sinx+cosx圖象可知,x在上有4個零點滿足題意.
當時,,t=sinx﹣cosx,
則 ,sin2x=1﹣t2,
,,t=1或,
∵,
∴x在上不存在零點.
綜上討論知:函數f(x)在[0,π)上有4個零點,而2017=4×504+1,
因此函數在[0,504π]有2017個零點,所以存在正整數k=504滿足題意.
知識點:三角函數
題型:解答題
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