已知函數f(x)=ax2+x﹣xlnx(a∈R)(Ⅰ)若函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,求實數a的取值範...
問題詳情:
已知函數f(x)=ax2+x﹣xlnx(a∈R)
(Ⅰ)若函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增,求實數a的取值範圍;
(Ⅱ)若函數f(x)有兩個極值點x1,x2(x1≠x2),*:.
【回答】
【解析】:(Ⅰ)f'(x)=2ax+1﹣lnx﹣1=2ax﹣lnx(x>0),
依題意知:f'(x)≥0在(0,+∞)上恆成立,即.
令,則,
知g(x)在(0,e)單調遞增,在(e,+∞)單調遞減,
,於是,即.
(Ⅱ)*:依題意知x1,x2(x1<x2)是方程2ax﹣lnx=0(x>0)的兩個根,
即2ax1﹣lnx1=0,2ax2﹣lnx2=0,(0<x1<x2),
可得2a(x1+x2)=lnx1+lnx2,2a(x1﹣x2)=lnx1﹣lnx2.
所以.
欲*,只要*
,
令h(t)=(t+1)lnt+﹣2(t﹣1)(0<t<1),只要h(t)<0即可.
則,
再令,則.
可知:φ(t)=h'(t)在(0,1)上遞減,
可知h'(t)>h'(1)=0,即h(t)在(0,1)上遞增,
有h(t)<h(1)=0,
綜上可知:.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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