函數f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.(1)求函數f(x)的單調區間和極值;(2)若關於x的方程f(x)=a有...
問題詳情:
函數f(x)=x3﹣6x+5,x∈R.
(1)求函數f(x)的單調區間和極值;
(2)若關於x的方程f(x)=a有三個不同的實根,求實數a的取值範圍.
【回答】
【考點】利用導數研究函數的單調*;利用導數研究函數的極值.
【專題】導數的綜合應用.
【分析】(1)首先求出函數的導數,然後根據導數與單調區間的關係確定函數的單調區間,
(2)由(1)的分析可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向,可知函數圖象的變化情況,可知方程f(x)=a有3個不同實根,求得實數a的值.
【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣6=3(x2﹣2),
令f′(x)<0,解得:﹣<x<,
令f′(x)>0,解得:x>或x<﹣,
∴函數f(x)的遞減區間是,遞增區間是與;
當時,有極大值,當時,有極小值;
(2)由(1)的分析可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向,
∴當5﹣4<a<5+4時,
直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點,
即方程f(x)=a有三解,
∴.
【點評】考查利用導數研究函數的單調*和圖象,體現了數形結合的思想方法.本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題,需要對參數進行分類討論.屬中檔題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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