已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)爲f(x)的導數.(1)*:f′(x)在區間(0,π...
問題詳情:
已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x,f′(x)爲f(x)的導數.
(1)*:f′(x)在區間(0,π)存在唯一零點;
(2)若x∈時,f(x)≥ax,求a的取值範圍.
【回答】
(1)見解析;
(2).
【分析】
(1)求導得到導函數後,設爲進行再次求導,可判斷出當時,,當時,,從而得到單調*,由零點存在定理可判斷出唯一零點所處的位置,*得結論;(2)構造函數,通過二次求導可判斷出,;分別在,,和的情況下根據導函數的符號判斷單調*,從而確定恆成立時的取值範圍.
【詳解】
(1)
令,則
當時,令,解得:
當時,;當時,
在上單調遞增;在上單調遞減
又,,
即當時,,此時無零點,即無零點
,使得
又在上單調遞減 爲,即在上的唯一零點
綜上所述:在區間存在唯一零點
(2)若時,,即恆成立
令
則,
由(1)可知,在上單調遞增;在上單調遞減
且,,
,
①當時,,即在上恆成立
在上單調遞增
,即,此時恆成立
②當時,,,
,使得
在上單調遞增,在上單調遞減
又,
在上恆成立,即恆成立
③當時,,
,使得
在上單調遞減,在上單調遞增
時,,可知不恆成立
④當時,
在上單調遞減
可知不恆成立
綜上所述:
【點睛】
本題考查利用導數討論函數零點個數、根據恆成立的不等式求解參數範圍的問題.對於此類端點值恰爲恆成立不等式取等的值的問題,通常採用構造函數的方式,將問題轉變成函數最值與零之間的比較,進而通過導函數的正負來確定所構造函數的單調*,從而得到最值.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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