在三棱锥中,,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为( )A. ...
问题详情:
在三棱锥中,,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【分析】
根据两个*影,结合球的图形,可知二面角的平面角为;根据题意可知当,时,三棱锥的体积最大.根据体积的最大值可求得BC的长,结合图形即可求得球的半径,进而求得表面积.
【详解】
如图,设球心在平面内的*影为,在平面内的*影为,
则二面角的平面角为,
点在截面圆上运动,点在截面圆上运动,
由图知,当,时,三棱锥的体积最大,此时与是等边三角形,
设,则,
,
,
,
解得,所以,
,,设,
则,
解得,
∴,
球的半径,
所求外接球的表面积为,
故选B.
【点睛】
本题考查了三棱锥外接球的综合应用,根据空间几何关系求得球的半径,进而求得表面积,对空间想象能力要求较高,属于难题.
知识点:空间几何体
题型:选择题
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