如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,且關於直線x=1對稱,點A的座標為...
問題詳情:
如圖,二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,且關於直線x=1對稱,點A的座標為(﹣1,0).
(1)求二次函數的表達式;
(2)連接BC,若點P在y軸上時,BP和BC的夾角為15°,求線段CP的長度;
(3)當a≤x≤a+1時,二次函數y=x2+bx+c的最小值為2a,求a的值.
【回答】
【解答】解:(1)∵點A(﹣1,0)與點B關於直線x=1對稱,
∴點B的座標為(3,0),
代入y=x2+bx+c,得:
,
解得,
所以二次函數的表達式為y=x2﹣2x﹣3;
(2)如圖所示:
由拋物線解析式知C(0,﹣3),
則OB=OC=3,
∴∠OBC=45°,
若點P在點C上方,則∠OBP=∠OBC﹣∠PBC=30°,
∴OP=OBtan∠OBP=3×=,
∴CP=3﹣;
若點P在點C下方,則∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,
∴OP′=OBtan∠OBP′=3×=3,
∴CP=3﹣3;
綜上,CP的長為3﹣或3﹣3;
(3)若a+1<1,即a<0,
則函數的最小值為(a+1)2﹣2(a+1)﹣3=2a,
解得a=1﹣(正值捨去);
若a<1<a+1,即0<a<1,
則函數的最小值為1﹣2﹣3=2a,
解得:a=﹣2(捨去);
若a>1,
則函數的最小值為a2﹣2a﹣3=2a,
解得a=2+(負值捨去);
綜上,a的值為1﹣或2+.
知識點:各地中考
題型:解答題
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