如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與軸交於、兩點,與軸交於點,且點的座標為,點的座標為,對稱軸為直...
問題詳情:
如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與軸交於、兩點,與軸交於點,且點的座標為,點的座標為,對稱軸為直線.點是拋物線上一個動點,設點的橫座標為,連接,,,.
(1)求拋物線的函數表達式;
(2)當的面積等於的面積的時,求的值;
(3)在(2)的條件下,若點是軸上一動點,點是拋物線上一動點,試判斷是否存在這樣的點,使得以點為頂點的四邊形是平行四邊形.若存在,請直接寫出點的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1);(2)的值為3;(3)存在,點的座標為,,,.
【解析】
(1)把A、C兩點座標代入函數解析式,結合對稱軸方程,聯立方程組,求出a,b,c的值即可;
(2)過點作軸於點,交於點,過點作交的延長線於點.首先計算出的面積=6,得,求得B(4,0),直線的函數表達式為,可得點的座標為,點的座標為,根據得方程求解即可;
(3)根據平行四邊形的判定與*質分三種情況進行求解:①當為對角線時;②當為對角線時;③當為對角線時.
【詳解】
(1)由題意得,解得
故拋物線的函數表達式為
(2)過點作軸於點,交於點,過點作交的延長線於點.
∵點的座標為,∴
∵點的座標為∴
當時,,
解得,.
∴
設直線的函數表達式為
則,解得,
∴直線的函數表達式為.
則點的座標為,點的座標為,
∴
∵點的座標為,
∴.
.
則有
解得(不合題意,捨去),.
∴的值為3.
(3)存在,點的座標為,,,
在中,
當時,,
∴.
分三種情況討論:
①當為對角線時,如圖(1),
易知點與點關於直線對稱.
∴,,
∴,
又∵,
∴
②當為對角線時,如圖(2),
,,
∴.
又∵,
∴
③當為對角線時.
∵,易知點的縱座標為.
將代入中,得,
解得,.
當時,點的位置如圖(3)所示,則
分別過點作軸的垂線,垂足分別為點,易*.
∵,
∴,
又∵,
∴
當時,點的位置如圖(4)所示,則.
同理易得點的座標為
綜上所述:點的座標為,,,.
【點睛】
本題考查的是二次函數綜合運用,涉及到一次函數、平行四邊形*質、面積計算等,其中(3),要注意分類求解,避免遺漏.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題
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