已知函數f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中a是實數).(I)求f(x)的單調區間;(II)若設2(e+)<a...
問題詳情:
已知函數f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中a是實數).
(I)求f(x)的單調區間;
(II)若設2(e+)<a<,且f(x)有兩個極值點x1,x2(x1<x2),
求f(x1)﹣f(x2)取值範圍.(其中e為自然對數的底數).
【回答】
解:(1)∵f(x)=x2﹣ax+2lnx(其中a是實數),
∴f(x)的定義域為(0,+∞),=
令g(x)=2x2﹣ax+2,△=a2﹣16,對稱軸x=,g(0)=2,
當△=a2﹣16≤0,即﹣4≤a≤4時,f′(x)≥0,
∴函數f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無單調遞減區間.…
當△=a2﹣16>0,即a<﹣4或a>4時,
①若a<﹣4,則f′(x)>0恆成立,
∴f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無減區間.…
②若a>4,令f′(x)=0,得,,
當x∈(0,x1)∪(x2,+∞)時,f′(x)>0,當x∈(x1,x2)時,f′(x)<0.
∴f(x)的單調遞增區間為(0,x1),(x2,+∞),單調遞減區間為(x1,x2).…
綜上所述:當a≤4時,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),無單調遞減區間.
當a>4時,f(x)的單調遞增區間為(0,x1)和(x2,+∞),單調遞減區間為(x1,x2)
(2)由(1)知,若f(x)有兩個極值點,則a>4,且x1+x2=>0,x1x2=1,∴0<x1<1<x2,
又∵,a=2(),,e+<<3+,
又0<x1<1,解得.…
∴f(x1)﹣f(x2)=()﹣()
=()﹣a(x1﹣x2)+2(lnx1﹣lnx2)
=(x1﹣x2)﹣a(x1﹣x2)+2ln
=﹣()•(x1+)+4lnx1
=,…
令h(x)=,(),
則<0恆成立,
∴h(x)在()單調遞減,∴h()<h(x)<h(),
即﹣4<f(x1)﹣f(x2)<﹣4ln3,
故f(x1)﹣f(x2)的取值範圍為(,).
知識點:導數及其應用
題型:綜合題
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