設函數f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其圖象關於直線x=0對稱，則（　　）A．...

問題詳情：

設函數f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜），且其圖象關於直線x=0對稱，則（　　）

A．y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為增函數

B．y=f（x）的最小正週期為，且在（0，）上為增函數

C．y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為減函數

D．y=f（x）的最小正週期為，且在（0，）上為減函數

【回答】

C【考點】三角函數的週期*及其求法；三角函數中的恆等變換應用；餘弦函數的對稱*；函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．

【專題】計算題；三角函數的圖像與*質．

【分析】通過兩角和與差的三角函數化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，求出函數的最小正週期，再由函數圖象關於直線x=0對稱，將x=0代入函數解析式中的角度中，並令結果等於kπ（k∈Z），再由φ的範圍，求出φ的度數，代入確定出函數解析式，利用餘弦函數的單調遞減區間確定出函數的得到遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函數在（0，）上為減函數，進而得到正確的選項．

【解答】解：∵f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）

=2[sin（2x+φ）+cos（2x+φ）]

=2sin（2x+φ+），

∴ω=2，

∴T==π，

又函數圖象關於直線x=0對稱，

∴φ+=kπ+（k∈Z），

即φ=kπ（k∈Z），

又|φ|＜，

∴φ=，

∴f（x）=2cos2x，

令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），

解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函數的遞減區間為[kπ，kπ+]（k∈Z），

又（0，）⊂[kπ，kπ+]（k∈Z），

∴函數在（0，）上為減函數，

則y=f（x）的最小正週期為π，且在（0，）上為減函數．

故選：C．

【點評】本題考查了兩角和與差的三角函數，三角函數的週期*及其求法，餘弦函數的對稱*，餘弦函數的單調*，以及兩角和與差的餘弦函數公式，其中將函數解析式化為一個角的餘弦函數是本題的突破點．

知識點：三角函數

題型：選擇題