如圖(1),在△ABC中,∠ACB為鋭角,點D為*線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形A...
問題詳情:
如圖(1),在△ABC中,∠ACB為鋭角,點D為*線BC上一點,連接AD,以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF,連接CF.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①當點D在線段BC上時(與點B不重合),如圖(2),線段CF,BD所在直線的位置關係為______,線段CF,BD的數量關係為________;
②當點D在線段BC的延長線上時,如圖(3),①中的結論是否仍然成立,並説明理由;
(2)如果AB≠AC,∠BAC是鋭角,點D在線段BC上,當∠ACB滿足什麼條件時,CF⊥BC(點C、F不重合),並説明理由.
【回答】
解:(1)①CF⊥BD;CF=BD
②當點D在線段BC的延長線上時,①中的結論仍然成立.理由:由正方形ADEF得AD=AF,∠DAF=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠DAF=∠BAC.
∴∠DAB=∠FAC.
又∵AB=AC,∴△DAB≌△FAC.
∴CF=BD,∠ACF=∠ABD.
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠ABC=∠ACB=45°.
∴∠ACF=45°.∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°.即CF⊥BD.
(2)當∠ACB=45°時,CF⊥BC(如圖).
理由:過點A作AG⊥AC交CB的延長線於點G,則∠GAC=90°.∵∠ACB=45°,∠AGC=90°-∠ACB,∴∠AGC=90°-45°=45°,∴∠ACB=∠AGC=45°,∴△AGC是等腰直角三角形,∴AC=AG.又∵∠DAG=∠FAC(同角的餘角相等),AD=AF,∴△GAD≌△CAF,
∴∠ACF=∠AGC=45°,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,即CF⊥BC.
知識點:三角形全等的判定
題型:綜合題
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