如圖,△ABC內接於⊙O,直徑DE⊥AB於點F,交BC於點M,DE的延長線與AC的延長線交於點N,連接AM.(...
問題詳情:
如圖,△ABC內接於⊙O,直徑DE⊥AB於點F,交BC於點 M,DE的延長線與AC的延長線交於點N,連接AM.
(1)求*:AM=BM;
(2)若AM⊥BM,DE=8,∠N=15°,求BC的長.
【回答】
【考點】圓周角定理;勾股定理;垂徑定理.
【分析】(1)由垂徑定理可求得AF=BF,可知DE爲AB的垂直平分線,可得AM=BM;
(2)連接AO,BO,可求得∠ACB=60°,可求得∠AOF,由DE的長可知AO,在Rt△AOF中得AF,在Rt△AMF中可求得AM,在Rt△ACM中,由,可求得CM,則可求得BC的長.
【解答】(1)*:
∵直徑DE⊥AB於點F,
∴AF=BF,
∴AM=BM;
(2)連接AO,BO,如圖,
由(1)可得 AM=BM,
∵AM⊥BM,
∴∠MAF=∠MBF=45°,
∴∠CMN=∠BMF=45°,
∵AO=BO,DE⊥AB,
∴∠AOF=∠BOF=,
∵∠N=15°,
∴∠ACM=∠CMN+∠N=60°,即∠ACB=60°,
∵∠ACB=.
∴∠AOF=∠ACB=60°.
∵DE=8,
∴AO=4.
在Rt△AOF中,由,得AF=,
在Rt△AMF中,AM=BM==.
在Rt△ACM中,由,得CM=,
∴BC=CM+BM=+.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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