已知函數f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）過點A（2，2）作曲線y...

問題詳情：

已知函數f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）過點A（2，2）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．

【回答】

【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程；6D：利用導數研究函數的極值．

【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，得到關於a，b的方程組，解出即可；

（Ⅱ）求出函數的導數，計算切線的斜率，求出切線方程即可．

【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，

依題意，f'（1）=f'（﹣1）=0，

即，解得a=1，b=0．

（Ⅱ）：∵f′（x）=3x2﹣3，

設切點座標爲（t，t3﹣3t），

則切線方程爲y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），

∵切線過點P（2，2），∴2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），

化簡得t3﹣3t2+4=0，∴t=﹣1或t=2，

∴切線的方程：y=2或9x﹣y﹣16=0．

知識點：導數及其應用

題型：解答題