已知函數f(x)=xlnx.(Ⅰ)求f(x)的最小值;(Ⅱ)若對所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求實數a的取...
問題詳情:
已知函數f(x)=xlnx.
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若對所有x≥1都有f(x)≥ax﹣1,求實數a的取值範圍.
(Ⅲ)若關於x的方程f(x)=b恰有兩個不相等的實數根,求實數b的取值範圍.
【回答】
【考點】6E:利用導數求閉區間上函數的最值;6B:利用導數研究函數的單調*.
【分析】(Ⅰ)求出函數的導數,解關於導函數的不等式,求出函數的單調區間,從而求出函數的最小值;
(Ⅱ)a≤lnx+(x≥1)恆成立,令g(x)=lnx+,則a≤g(x)min(x≥1)恆成立;根據函數的單調*求出g(x)的最小值,從而求出a的範圍即可;
(Ⅲ)問題轉化爲y=b和y=f(x)在(0,+∞)有兩個不同的交點,根據函數的單調*求出b的範圍即可.
【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=1+lnx,
令f′(x)>0,解得:x>,令f′(x)<0,解得:0<x<,
故f(x)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增,
故f(x)min=f()=ln=﹣;
(Ⅱ)∵f(x)=xlnx,
當x≥1時,f(x)≥ax﹣1恆成立
⇔xlnx≥ax﹣1(x≥1)恆成立
⇔a≤lnx+(x≥1)恆成立,
令g(x)=lnx+,則a≤g(x)min(x≥1)恆成立;
∵g′(x)=﹣=,
∴當x≥1時,f′(x)≥0,
∴g(x)在.
(Ⅲ)若關於x的方程f(x)=b恰有兩個不相等的實數根,
即y=b和y=f(x)在(0,+∞)有兩個不同的交點,
由(Ⅰ)0<x<時,f(x)<0,
f(x)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增,
f(x)min=f()=ln=﹣;
故﹣<b<0時,滿足y=b和y=f(x)在(0,+∞)有兩個不同的交點,
即若關於x的方程f(x)=b恰有兩個不相等的實數根,則﹣<b<0.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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