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下列命题中正确的是( ) ①若数列{an}是等差数列,且am+an=as+at(m、n、s、t∈N*),则m+n=s+t; ②若Sn是等差数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列; ③若Sn是等比数列{an}的前n项的和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列; ④若Sn是等比数列{an}的前n项的和,且Sn=Aqn+B;(其中A、B是非零常数,n∈N*),则A+B为零.
A.①② | B.②③ | C.②④ | D.③④ |
【回答】
C
【解析】①取数列{an}为常数列,对任意m、n、s、t∈N*,都有am+an=as+at,故错; ②设等差数列an的首项为a1,公差为d, 则Sn=a1+a2+…+an,S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d, 同理:S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n-Sn+n2d, ∴2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n), ∴Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等差数列,此选项正确; ③设an=(-1)n,则S2=0,S4-S2=0,S6-S4=0, ∴此数列不是等比数列,此选项错; ④因为an=Sn-Sn-1=(Aqn+B)-(Aqn-1+B)=Aqn-Aqn-1=(Aq-1)×qn-1, 所以此数列为首项是Aq-1,公比为q的等比数列,则Sn=
(Aq-1)(1-qn) |
1-q |
所以B=
Aq-1 |
1-q |
,A=-
Aq-1 |
1-q |
,∴A+B=0,故正确; 故选C.
知识点:数列
题型:选择题
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