反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象是双曲线.当k>0时,双曲线两个分支分别在一、三象限,在每一个...
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反比例函数y= (k为常数,k≠0)的图象是双曲线.当k>0时,双曲线两个分支分别在
一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小(简称增减*);反比例函数的图象关于
原点对称(简称对称*).
这些我们熟悉的*质,可以通过说理得到吗?
【尝试说理】
我们首先对反比例函数y=(k>0)的增减*来进行说理.
如图,当x>0时.
在函数图象上任意取两点A、B,设A(x1,),B(x2,),
且0<x1< x2.
下面只需要比较和的大小.
—=.
∵0<x1< x2,∴x1-x2<0,x1 x2>0,且 k>0.
∴<0.即.
这说明:x1< x2时,.也就是:自变量值增大了,对应的函数值反而变小了.
即:当x>0时,y随x的增大而减小.
同理,当x<0时,y随x的增大而减小.
(1)试说明:反比例函数y= (k>0)的图象关于原点对称.
【运用推广】
(2)分别写出二次函数y=ax2(a>0,a为常数)的对称*和增减*,并进行说理.
对称*: ;
增减*: .
说理:
(3)对于二次函数y=ax2+bx+c (a>0,a,b,c为常数),请你从增减*的角度,简要解释为何当x=— 时函数取得最小值.
【回答】
(1)在反比例函数y=(k>0)的图象上任取一点P(m,n),于是:mn=k.
那么点P关于原点的对称点为P1(-m,-n).而(-m)(-n)=mn=k,
这说明点P1也必在这个反比例函数y=的图象上.
所以反比例函数y= (k>0)的图象关于原点对称.
(2)对称*:二次函数y=ax2 (a>0,a为常数)的图象关于y轴成轴对称.
增减*:当x>0时,y随x增大而增大;当x<0时,y随x增大而减小.
理由如下:
①在二次函数y=ax2 (a>0,a为常数) 的图象上任取一点Q(m,n),于是n=am2.
那么点Q关于y轴的对称点Q1(-m,n).而n=a(-m)2,即n=am2.
这说明点Q1也必在在二次函数y=ax2 (a>0,a为常数) 的图象上.
∴二次函数y=ax2 (a>0,a为常数)的图象关于y轴成轴对称,
②在二次函数y=ax2 (a>0,a为常数)的图象上任取两点A、B,设A(m,am2),
B(n,an2) ,且0<m<n.
则an2-am2=a(n+m)(n-m)
∵n>m>0,
∴n+m>0,n-m>0;
∵a>0,
∴an2-am2=a(n+m)(n-m)>0.即an2>am2.
而当m<n<0时,
n+m<0,n-m>0;
∵a>0,
∴an2-am2=a(n+m)(n-m)<0.即an2<am2.
这说明,当x>0时,y随x增大而增大;当x<0时,y随x增大而减小.
(3)二次函数y=ax2+bx+c (a>0,a,b,c为常数) 的图象可以由y=ax2的图象通过平
移得到,关于直线x=—对称,当x=—时,y=.
由(2),当x≥—时,y随x增大而增大;也就是说,只要自变量x≥—,其对应
的函数值y≥;而当x≤—时,y随x增大而减小,也就是说,只要自变量x
≤—,其对应的函数值y≥.
综上,对于二次函数y=ax2+bx+c (a>0,a,b,c为常数),当x=— 时取得最小值.
知识点:反比例函数
题型:解答题
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