如图,在直三棱柱中,,是的中点,.(1)求*:平面;(2)若异面直线和所成角的余弦值为,求四棱锥的体积.
问题详情:
如图,在直三棱柱中,,是的中点,.
(1)求*:平面;
(2)若异面直线和所成角的余弦值为,求四棱锥的体积.
【回答】
(1)见*;(2)3
【解析】
(1)连接,交于点,连结,利用中位线定理*平面.
(2)通过平移,表示出异面直线和所成角,结合正弦定理及三角形面积公式求得.所以可得解.
【详解】
解法一:
(1)连结,交于点,连结.
在直三棱柱中,四边形为平行四边形,
所以为的中点,
又为的中点,所以,
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为,为锐角,
所以为异面直线和所成的角,
所以由条件知,
在中,,,
,,
.
又平面,平面,,
所以,
,
,
所以.
解法二:(1)*:取的中点,连结,,,
在直三棱柱中,
四边形为平行四边形,又是的中点,
所以,所以四边形是平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面,
因为,所以四边形是平行四边形,
所以,又平面,平面,
所以平面,
又,平面,
所以平面平面,
又平面,所以平面.
(2)过作于,
因为平面,平面,所以,
又,平面,所以平面.
因为,为锐角,
所以为异面直线和所成的角,
所以由条件知,
在中,,,
,,
,
又,,,
所以.
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判定,割补法求体积,属于中档题.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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