已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R.(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)...
问题详情:
已知函数f(x)=lnx﹣,a∈R.
(1)若x=2是函数f(x)的极值点,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围.
【回答】
【考点】6B:利用导数研究函数的单调*;6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)求导数f′(x),由x=2为极值点得f′(2)=0,可求a,切线斜率,切点为(1,0),由点斜式可求切线方程;
(2)由f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,知f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,分离出参数a后,转化为求函数的最值,利用基本不等式可求最值;
【解答】解:(1)=.
由题意知f′(2)=0,代入得,经检验,符合题意.
从而切线斜率,切点为(1,0),
∴切线方程为x+8y﹣1=0;
(2).
∵f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,∴f'(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,
∴2a﹣2≤2.∴a≤2.
∴a的取值范围是(﹣∞,2].
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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