如图所示,在五棱锥中,侧面底面,是边长为2的正三角形,四边形为正方形,,且,是的重心,是正方形的中心.(Ⅰ)求...
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如图所示,在五棱锥中,侧面底面,是边长为2的正三角形,四边形为正方形,,且,是的重心,是正方形的中心.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【回答】
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【分析】
(1)*线面平行,转化为线线平行.取中点,中点,连接,即可.(2)求二面角的余弦值,以为原点,以方向为轴正方向,以方向为轴正方向,以方向为轴正方向,建立空间直角坐标系即可.
【详解】
(Ⅰ)取中点,中点,连接,,易知,,,四点共线.
由,且,可知为等腰直角三角形,所以.
因为是正方形的中心,所以.
所以,所以.又是的重心,所以.
所以,故.又因为平面,平面.
所以平面.
(Ⅱ)解法一:因为为中点,是正三角形,所以.
因为侧面底面,且交线为,所以底面.所以直线,,两两垂直.
如图,以为原点,以方向为轴正方向,以方向为轴正方向,以方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
则,,,.所以,,.
设平面的法向量为,
则令,则.
设平面的法向量为,
则,令,则.
所以.
结合图可知,二面角的余弦值为.
解法二:取,中点分别为,,连接,,则.
又侧面底面,,侧面底面,所以平面.
又平面,所以,所以.
又,,所以,所以.
所以为二面角的平面角.
易知,所以.因为,,
所以,所以.
即二面角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行、二面角,属于中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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