計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水...

問題詳情：

計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發電機的水電站，過去50年的水文資料顯示，水年入流量X(年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低於80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，並假設各年的年入流量相互*．

(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率．

(2)水電站希望安裝的發電機儘可能執行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量X限制，並有如下關係：

若某臺發電機執行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發電機未執行，則該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？

【回答】

解：(1)依題意，p1＝P(40<X<80)＝＝0.2，

p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，

p3＝P(X>120)＝＝0.1.

由二項分佈得，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為

p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7.

(2)記水電站年總利潤為Y(單位：萬元)．

①安裝1臺發電機的情形．

由於水庫年入流量總大於40，故一臺發電機執行的概率為1，對應的年利潤Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.

②安裝2臺發電機的情形．

依題意，當40<X<80時，一臺發電機執行，此時Y＝5000－800＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當X≥80時，兩臺發電機執行，此時Y＝5000×2＝10 000，因此P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝ p2＋p3＝0.8.由此得Y的分佈列如下：

所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840.

③安裝3臺發電機的情形．

依題意，當40<X<80時，一臺發電機執行，此時Y＝5000－1600＝3400，因此P(Y＝3400)＝P(40<X<80)＝p1＝0.2；當80≤X≤120時，兩臺發電機執行，此時Y＝5000×2－800＝9200，因此P(Y＝9200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝0.7；當X>120時，三臺發電機執行，此時Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分佈列如下：

所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620.

綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機2臺．

知識點：概率

題型：解答題