如圖,在等邊△ABC中,AB=AC=BC=10釐米,DC=4釐米.如果點M以3釐米/秒的速度運動.(1)如果點...
問題詳情:
如圖,在等邊△ABC中,AB=AC=BC=10釐米,DC=4釐米.如果點M以3釐米/秒的速度運動.
(1)如果點M線上段CB上由點C向點B運動,點N線上段BA上由B點向A點運動.它們同時出發,若點N的運動速度與點M的運動速度相等.
①經過2秒後,△BMN和△CDM是否全等?請說明理由.
②當兩點的運動時間為多少時,△BMN是一個直角三角形?
(2)若點N的運動速度與點M的運動速度不相等,點N從點B出發,點M以原來的運動速度從點C同時出發,都順時針沿△ABC三邊運動,經過25秒點M與點N第一次相遇,則點N的運動速度是 釐米/秒.(直接寫出*)
【回答】
(1)①△BMN≌△CDM.理由見解析;②當t=秒或t=秒時,△BMN是直角三角形;(2)3.8或2.6.
【解析】
試題分析:①根據題意得CM=BN=6CM,所以BM=4CM=CD.根據“SAS”*△BMN≌△CDM;
②設運動時間為t秒,分別表示CM和BN.分兩種情況,運用特殊三角形的*質求解:I.∠NMB=90°;Ⅱ.∠BNM=90°;
(2)點M與點N第一次相遇,有兩種可能:I.點M運動速度快;Ⅱ.點N運動速度快.分別列方程求解.
試題解析:(1)①△BMN≌△CDM.理由如下:
∵VN=VM=3釐米/秒,且t=2秒,
∴CM=2×3=6(cm),
BN=2×3=6(cm),
BM=BC﹣CM=10﹣6=4(cm),
∴BN=CM,
∵CD=4(cm),
∴BM=CD,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠C=60°,
在△BMN和△CDM中,
BN=CM,∠B=∠C,BM=CD,
∴△BMN≌△CDM.(SAS).
②設運動時間為t秒,△BMN是直角三角形有兩種情況:
Ⅰ.當∠NMB=90°時,
∵∠B=60°,
∴∠BNM=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.
∴BN=2BM,
∴3t=2×(10﹣3t),
∴t=(秒);
Ⅱ.當∠BNM=90°時,
∵∠B=60°,
∴∠BMN=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°.
∴BM=2BN,
∴10﹣3t=2×3t,
∴t=(秒).
∴當t=秒或t=秒時,△BMN是直角三角形;
(2)分兩種情況討論:
I.若點M運動速度快,則 3×25﹣10=25VN,解得 VN=2.6;
Ⅱ.若點N運動速度快,則 25VN﹣20=3×25,解得 VN=3.8.
故*為 3.8或2.6.
點睛:此題考查等邊三角形的*質、特殊直角三角形的*質及列方程求解動點問題,兩次運用分類討論的思想,難度較大.
知識點:等腰三角形
題型:解答題
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