在①sinA=2sinB，②a+b=6，③ab=12.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形...

問題詳情：

在①sinA=2sinB，②a+b=6，③ab=12.這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求出△ABC的面積；若問題中的三角形不存在，說明理由.問題：是否存在△ABC，它的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，c=3，________.

【回答】

*見解析

【解析】

根據已知條件先求解出的值，若選條件①：使用正、餘弦定理求解出的值，然後利用三角形面積公式求解出三角形面積；若選條件②：利用餘弦定理結合已知條件求解出的值，再利用三角形面積公式求解出三角形的面積；若選條件③：先利用餘弦定理分析出的取值範圍，然後推出矛盾，說明三角形不存在.

【詳解】

解法一：由

結合正弦定理可得：

因為sinA≠0，所以

因為所以

因為，所以

因為C∈(0，π)，所以，所以C=60°

解法二：由

結合正弦定理可得：

因為sinA≠0，所以

因為，C(0，π)，所以或者(捨去)

所以A+B=2C，所以C=60°

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，所以9=a2+b2-ab

選擇條件①的解析：根據sinA=2sinB，結合正弦定理得a=2b

聯立方程組解得：

所以△ABC的面積

選擇條件②的解析：

聯立方程組，化簡得：解得

(注：沒有解出a，b，則需說明△ABC存在)

所以△ABC的面積

選擇條件③的解析：由9=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab得ab≤9

與ab=12矛盾，所以問題中的三角形不存在

【點睛】

本題考查解三角形與三角恆等變換的綜合應用，主要考查學生對於正、餘弦定理以及三角形面積公式的運用，難度一般.

知識點：三角函式

題型：解答題