已知：a、b、c滿足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，請回答問題:（1）請求出a、b、c的值；（2）a、...

問題詳情：

已知：a、b、c滿足a=-b,|a+1|+（c-4）2=0，請回答問題:

（1）請求出a、b、c的值；

（2）a、b、c所對應的點分別為A、B、C，P為數軸上一動點，其對應的數為x，若點P線上段BC上時，請化簡式子：|x+1|-|1-x|+2|x-4|（請寫出化簡過程）；

（3）若點P從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向右運動，試探究當點P運動多少秒時，PC=3PB?

【回答】

（1）a=-1, b=1,c=4；（2）-2x+10；（3）或秒

【解析】

試題分析：

(1) 利用“若幾個非負數之和為零則每一個非負數均為零”這一結論，可以得到a與c的值. 利用已知條件容易得到b的值.

(2) 根據“點P線上段BC上”可以得到x的取值範圍. 根據x的取值範圍，可以依次確定待化簡式子中絕對值符號內的整式值的符號，再根據絕對值的代數意義去掉相應的絕對值符號，然後合併同類項即可得出*.

(3) 設點P的運動時間為t秒. 分析題意可知，要想得到符合題意的運動時間，就需要獲得線段PC與線段PB的長關於運動時間t的表示式. 對於線段PC的表示式，可以通過PC=AC-AP的關係得到. 線段AC的長易知；由於點P從點A出發沿直線向右運動，所以線段AP的長代表了點P的運動路程. 根據“路程等於速度乘以時間”這一等量關係，可以用t表示出線段AP的長. 對於線段PB的表示式，則需要按照點P與點B的相對位置進行討論. 當點P在點B的左側時，可根據PB=AB-AP獲得線段PB的表示式；當點P在點B的右側時，可根據PB=AP-AB獲得線段PB的表示式. 在獲得上述表示式後，利用等量關係PC=3PB列出方程求解時間t即可.

試題解析：

(1) 因為，所以a+1=0，c-4=0，即a=-1，c=4.

因為a=-b，a=-1，所以b=-a=-(-1)=1.

綜上所述，a=-1，b=1，c=4.

(2) 因為點P線上段BC上，b=1，c=4，所以.

因為，所以x+1>0，，.

當x+1>0時，；

當時，；

當時，.

因此，當點P線上段BC上(即)時，

=

=

=.

(3) 設點P的運動時間為t秒.

因為點P從A點出發，以每秒2個單位長度的速度向右運動，所以AP=2t.

因為點A對應的數為-1，點C對應的數為4，所以AC=4-(-1)=5.

因為PC=3PB，所以PC>PB. 故點P不可能在點C的右側.

因此，PC=AC-AP.

因為AP=2t，AC=5，所以PC=AC-AP=5-2t.

分析本小題的題意，點P與點B的位置關係沒有明確的限制，

故本小題應該對以下兩種情況分別進行求解.

①點P在點B的左側，如下圖.

因為點A對應的數為-1，點B對應的數為1，所以AB=1-(-1)=2.

因為AP=2t，AB=2，所以PB=AB-AP=2-2t.

因為PC=3PB，PC=5-2t，PB=2-2t，所以5-2t=3(2-2t).

解這個關於t的一元一次方程，得 .

②點P在點B的右側，如下圖.

因為AP=2t，AB=2，所以PB=AP-AB=2t-2.

因為PC=3PB，PC=5-2t，PB=2t-2，所以5-2t=3(2t-2).

解這個關於t的一元一次方程，得 .

綜上所述，當點P運動或秒時，PC=3PB.

點睛：

本題綜合考查了有理數的相關知識和線段長度的計算. 在化簡含有絕對值的式子的時候，關鍵在於確定絕對值符號內部代數式的符號以便通過絕對值的代數意義將絕對值符號去掉. 在解決簡單幾何動點問題時，關鍵在於準確找到表示動點運動路程的線段並利用運動時間表示出該線段的長，這樣便可以將線段之間的幾何關係轉化為運動時間的方程，從而解決問題.

知識點：實際問題與一元一次方程

題型：解答題