在中,內角,,所對的邊長分別是,,.(1)若,,且的面積為,求,的值;(2)若,試判斷的形狀.
問題詳情:
在中,內角,,所對的邊長分別是,,.
(1)若,,且的面積為,求,的值;
(2)若,試判斷的形狀.
【回答】
【詳解】試題分析:(1)根據餘弦定理,得,再由面積正弦定理得,兩式聯解可得到a,b的值;
(2)根據三角形內角和定理,得到sinC=sin(A+B),代入已知等式,展開化簡合併,得sinBcosA=sinAcosA,最後討論當cosA=0時與當cosA≠0時,分別對△ABC的形狀的形狀加以判斷,可以得到結論.
試題解析:(1) ∵c=2,,
∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC得a2+b2-ab=4.
又∵△ABC的面積為,∴absinC=,∴ab=4.
聯立方程組解得a=2,b=2.
(2)由sinC+sin(B-A)=sin2A,得sin(A+B)+sin(B-A)=2sinAcosA,
即2sinBcosA=2sinAcosA,
∴cosA·(sinA-sinB)=0,∴cosA=0或sinA-sinB=0,
當cosA=0時,∵0<A<π,∴A=,△ABC為直角三角形;
當sinA-sinB=0時,得sinB=sinA,由正弦定理得a=b,
即△ABC為等腰三角形.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.
考點:正弦定理;三角形的形狀判斷
知識點:解三角形
題型:解答題
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