(2018•重慶)對任意一個四位數n,如果千位與十位上的數字之和為9,百位與個位上的數字之和也為9,則稱n為“...
問題詳情:
(2018•重慶)對任意一個四位數n,如果千位與十位上的數字之和為9,百位與個位上的數字之和也為9,則稱n為“極數”.
(1)請任意寫出三個“極數”;並猜想任意一個“極數”是否是99的倍數,請說明理由;
(2)如果一個正整數a是另一個正整數b的平方,則稱正整數a是完全平方數.若四位數m為“極數”,記D(m)=,求滿足D(m)是完全平方數的所有m.
【回答】
解析:(1)根據“極數”的意義得,1287,2376,8712,
任意一個“極數”都是99的倍數,
理由:設對於任意一個四位數且是“極數”n的個位數字為x,十位數字為y,(x是0到9的整數,y是0到8的整數)
∴百位數字為(9﹣x),千位數字為(9﹣y),
∴四位數n為:1000(9﹣y)+100(9﹣x)+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99(100﹣10y﹣x),
∵x是0到9的整數,y是0到8的整數,
∴100﹣10y﹣x是整數,
∴99(100﹣10y﹣x)是99的倍數,
即:任意一個“極數”都是99的倍數;
(2)設四位數m為“極數”的個位數字為x,十位數字為y,(x是0到9的整數,y是0到8的整數)
∴m=99(100﹣10y﹣x),
∵m是四位數,
∴m=99(100﹣10y﹣x)是四位數,
即1000≤99(100﹣10y﹣x)<10000,
∵D(m)==3(100﹣10y﹣x),
∴30≤3(100﹣10y﹣x)≤303
∵D(m)完全平方數,
∴3(100﹣10y﹣x)既是3的倍數也是完全平方數,
∴3(100﹣10y﹣x)只有36,81,144,225這四種可能,
∴D(m)是完全平方數的所有m值為1188或2673或4752或7425.
知識點:乘法公式
題型:解答題
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